\contentsline {chapter}{\numberline {1}Partielle Differentialgleichungen}{5}
\contentsline {paragraph}{Unterschied 1: \active@dq \dq@prtct {`}Faustregel\active@dq \dq@prtct {'} (ohne Beispiel)}{5}
\contentsline {paragraph}{Unterschied 2:}{5}
\contentsline {section}{\numberline {1.1}Klassifizierung von partiellen \text {Differentialgleichungen }}{6}
\contentsline {section}{\numberline {1.2}Einfache Beispiele}{6}
\contentsline {section}{\numberline {1.3}Randbedingungen}{7}
\contentsline {section}{\numberline {1.4}Korrekt gestellte Probleme}{8}
\contentsline {chapter}{\numberline {2}Grundz\"uge der Methode der finiten Elemente (FE)}{9}
\contentsline {section}{\numberline {2.1}Was ist eine Variationsgleichung?}{9}
\contentsline {section}{\numberline {2.2}\"Uberf\"uhrung eines Problems in eine Variationsgleichung}{10}
\contentsline {section}{\numberline {2.3}\"Ubergang zum diskreten Problem}{11}
\contentsline {chapter}{\numberline {3}Ein erstes Beispiel zur FE-Methode}{15}
\contentsline {section}{\numberline {3.1}Die Funktionenr\"aume ${\cal L}^2$ und $H^1$}{17}
\contentsline {section}{\numberline {3.2}Fortsetzung des Beispiels}{18}
\contentsline {chapter}{\numberline {4}Der Aufbau des Gleichungssystems}{21}
\contentsline {section}{\numberline {4.1}Hinweise zur Implementierung}{23}
\contentsline {chapter}{\numberline {5}Dreieckskoordinaten in der FE-Methode}{25}
\contentsline {chapter}{\numberline {6}Randbedingungen}{29}
\contentsline {chapter}{\numberline {7}Pr\"azisierung der Grundz\"uge der Methode}{31}
\contentsline {section}{\numberline {7.1}Grundlagen zum Beweis des Satzes von Lax und Milgram}{33}
\contentsline {section}{\numberline {7.2}Hilbertr\"aume}{35}
\contentsline {section}{\numberline {7.3}Projektion auf Unterr\"aume}{37}
\contentsline {section}{\numberline {7.4}Das Repr\"asentationstheorem von Riesz}{38}
\contentsline {section}{\numberline {7.5}Symmetrische Bilinearformen und Hilbertr\"aume}{41}
\contentsline {section}{\numberline {7.6}Nicht-symmetrische Variationsprobleme}{42}
\contentsline {section}{\numberline {7.7}Das Theorem von Lax und Milgram}{43}
\contentsline {chapter}{\numberline {8}Allgemeines zu Fehlerabsch\"atzungen}{47}
\contentsline {section}{\numberline {8.1}Erg\"anzungen}{50}
\contentsline {chapter}{\numberline {9}Konvergenzaussagen}{53}
\contentsline {section}{\numberline {9.1}Approximation durch st\"uckweise lineare Funktionen}{53}
\contentsline {chapter}{\numberline {10}Numerische Integration}{61}
\contentsline {chapter}{\numberline {11}Iterative Gleichungssysteml\"oser}{63}
\contentsline {section}{\numberline {11.1}Grundlagen}{63}
\contentsline {section}{\numberline {11.2}Das Jacobi-Verfahren}{65}
\contentsline {section}{\numberline {11.3}Das Jacobi-Relaxationsverfahren}{70}
\contentsline {chapter}{\numberline {12}Mehrgitterverfahren}{71}
\contentsline {section}{\numberline {12.1}Das Zweigitterverfahren}{77}
\contentsline {section}{\numberline {12.2}Das Mehrgitterverfahren}{79}
\contentsline {section}{\numberline {12.3}Das vollst\"andige Mehrgitterverfahren}{81}
\contentsline {subsection}{\numberline {12.3.1}Literatur}{81}
\contentsline {section}{\numberline {12.4}Erg\"anzungen zu Randwertproblemen}{81}
\contentsline {chapter}{\numberline {13}Numerik parabolischer Gleichungen}{85}
\contentsline {chapter}{\numberline {14}Hintergrund zur Stabilit\"atsanalyse}{91}
\contentsline {section}{\numberline {14.1}Beispielrechnung}{94}
\contentsline {chapter}{\numberline {15}Konvergenz von Anfangswertproblemen}{97}
\contentsline {chapter}{\numberline {16}Konsistenz und Anfangswertprobleme}{101}
\contentsline {chapter}{\numberline {17}Das Theorem von Lax}{103}
\contentsline {section}{\numberline {17.1}Erweiterungen f\"ur den nicht-linearen Fall}{105}
\contentsline {chapter}{\numberline {18}Implizite Verfahren}{107}
\contentsline {chapter}{\numberline {19}Zur Herleitung von Differenzenverfahren}{111}
\contentsline {section}{\numberline {19.1}Zellmittelwerte}{113}
\contentsline {section}{\numberline {19.2}Zellzentrierte Gitter}{114}
\contentsline {section}{\numberline {19.3}Nicht-\"aquidistante Gitter}{115}
\contentsline {chapter}{\numberline {20}Methoden f\"ur hyperbolische Gleichungen}{117}
\contentsline {section}{\numberline {20.1}Erhaltungsform und Konsistenz}{120}
\contentsline {section}{\numberline {20.2}Monotone Verfahren}{121}
\contentsline {section}{\numberline {20.3}Die CFL-Bedingung}{125}
\contentsline {section}{\numberline {20.4}Hochaufl\"osende Verfahren}{126}
\contentsline {section}{\numberline {20.5}Nichtlineare Konstruktion hochaufl\"osender Verfahren}{128}
